导数和微分的定义（微分的定义）

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。导数和微分的定义，微分的定义很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

微分的概念

一,微分概念的引入

在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+δx为x0的近似数,由此产生的误差为δx相应产生的函数值的误差δy=f(x0+δx)-f(x0),往往需要估计δy的值.如果f(x0+δx),f(x0)计算很复杂.因此计算δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|δx|≤δ,又如何估计δy 

假设f′(x)存在,则

==f′(x0),有

=f′(x0)+α,α=0,于是

δy=f′(x0)δx+αδx,而=0 (1)即 αδx=0(δx)(δx→0)因此,当|δx|很小时,

δy≈f′(x0)δx

在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则

δy≈f′(x*)δx,从而可以估计出δy.

从(1)式我们看到,f′(x0)相对δx是一个常数,αδx是δx的高阶无穷小,如果δy=aδx+0(δx)(δx→0),则δy≈aδx,由此得到微分的概念.

二,微分的概念

定义 设y=f(x)在x0的某领域u(x0)内有定义,若

δy=f(x+δx)-f(x)可表示为

δy=aδx+o(δx) (δx→0)

其中a是写δx无关的常数,aδx称为δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部aδx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=aδx.

三,可微与可导的关系

从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有

定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且a=f′(x).

证 充分性,由f(x)在点x处可导,有

=f′(x),于是

=f′(x)+α,其中α=0,有

δy=f′(x)δx+αδx,由=0,有αδx=o(δx)(δx→0)

所以

δy=f′(x)δx+o(δx) (δx→0)

因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=a.

必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知

δy=aδx+0(δx) (δx→0),a与δx无关.

由=[a+]=a=f′(x)

所以y=f(x)在点x处可导.

于是,若y=f(x)在点x处可微,则

dy=aδx,由a=f′(x),有

dy=f′(x)δx

由函数x在x处可微,则dx=(x)′δx=δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此

dy=f′(x)dx等价于=f′(x)

由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商. 

下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义

圆面积s=πr2,其中r为圆半径,则

图2-6

δs=π(r+δr) 2-πr2=2πrδr+π(δr) 2

ds=2πrδr=2πrdr

当半径有增量δr时,圆面积的增量δs,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7

图2-7

(2)圆柱体体积v=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高

δv=π(r+δr) 2h-πr2h

=2πrhδhδr+πh(δr) 2

dv=2πrhδr=2πrhdr

图2-8

当底面半径有增量δr时,圆柱体的增量δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度δr的长方体体积.如图2-9

(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积δv)

δv=π(r+δr)3-πr3

=π[r3+3r2δr+3rδr3-πr3]

=4πr2δr+(4rπδr+πδr2)δr

dv=4πr2δr

即薄球壳的体积δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.

四,微分的几何意义

若y=f(x)在点x处可微,则

δy=f′(x)δx+o(δx)=dy+o(δx)

图2-9

及pt中曲线y=f(x)在曲线上点p(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)

δy=f(x+δx)-f(x)=nq

dy=f′(x)δx=tanα δx=nt

图2-10

o(δx)=δy-dy=nq-nt=tq

由dy≈δy,即

nt≈nq,则

|pt|=≈=|pq|≈||

因此,当|δx|很小时,可用线段nt近似代替nq,或者说在p点邻近,可用切线段pt近似代替曲线弧.

§2.2 微分的基本性质

一,微分基本公式

由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).

二,微分的四则运算

定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则

u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且

1. d(u±v)=du±dv

2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)

3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)

注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.

证3 d()=()′dx=dx

== (v≠0)

三,一阶微分不变形

定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数

y=f(φ(x))在点x处可微,且

dy=f′(u)du

证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且

dy[wb]=f′(φ(x))φ′(x)dx

=f′(φ(x))dφ′(x)

=f′(u)du

dy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性.

例1. y=e

解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)

于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx

解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性

dy=de=edsin(x2+)

=ecos (x2+)d(x2+)

=ecos (x2+)[d(x2)+d]

=ecos (x2+)[2xdx+dx]

=ecos(x2+)(2x+)dx

从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)

例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy

解 对方程两端求微分

d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得

2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有

dy=dx

例3. 利用微分求,

解:====y′

从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在

===dt

=

§2.3 近似计算与误差估计

一,近似计算

若y=f(x)在点x0处可微,即

δy=f(x0+δx)-f(x0)≈f′(x0)δx+o(δx) (δx→0)

当|δx|很小时,有

δy≈f′(x0)δx (1)

即f(x0+δx))-f(x0)≈f′(x0)δx,则

f(x0+δx)≈f(x0)+f′(x0)δx (2)

(1)式为我们提供计算δy近似值的公式

(2)式为我们提供计算f(x0+δx)近似值的公式

特别x0=0有f(δx)≈f(0)+f′(0)δx

设δx=x,若|x|很小时,有

f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时

sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈x

ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)

与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.

例4. 计算的近似值

解 设f(x)= f′(x)=x,f′(1)=

由=f(1.002)=f(1+0.002)

≈f(1)+f′(1)×0.002

=1=×0.002=1.00002

二,误差估计

从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.

若y=f(x),则

|δy|≈|dy|=|f′(x0)δx|≤|f′(x0)|δxδy

于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限

=δx或δx称为y的相对误差限.

例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径d所允许的最大相对误差是多少 

解 球的体积v= ()3=由

dv=dd,于是

==3由≤1%有

3≤1%,即≤%≈0.33%

§2.4* 高阶微分

若y=f(x)在区间x上可微(x为自变量),则

dy=f′(x)dx

这里dy不仅与x有关,与dx=δx也有关,而δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即

d2y=f〃(x)dx2

一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在

则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1

=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)(x)dxn则

=f(n)(x) (x为自变量)

因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.

我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.

dy=f′(u)du

二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则

d2y=f〃(x)dx2

若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在

由 dy=f′(u)du,于是

d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)

=f〃(u)du du+f′(u)d2u

=f〃(u)du2+f′(u)d2u

由 du=dφ(x)=φ′(x)dx

d2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0

同样 f′(u)d2u0

因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量

=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.

但只能看成一个整体符号,不能看成商

注:d(x2),dx2,d2x的区别

d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2

d2x=d(dx) 0

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。