schmidt正交化方法（schmidt正交化）

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1、原发布者:aiciuseem

2、Gram-Schmidt正交化方法正射影设欧式空间中向量线性无关,令;(1);…….则均非零向量,且两两正交.再令则为规范正交组.将(1)重新写成,其中,有令则上式左端的实方阵是的格兰母矩阵，记为：，上式右端中间的对角阵是的Gram矩阵.即有:因此注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1设欧式空间中向量，则（1）线性无关;（2）线性相关.证明:只证（2）设线性相关，则存在一个向量，不妨设为,可由其余向量线性表示:给阶的行列式的第行乘数加到第行，得法一：由上页证明推理过程立即得证。法二：当时，的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数，使.即.故，即有.即有线性相关.注：当线性无关时，，且.推论1设是欧氏空间中任意向量，则(ⅰ)是半正定矩阵；(ⅱ)是正定阵线性无关.证明(ⅰ)对任意，主子式总大于或等于零.因此是半正定矩阵.(ⅱ)（）当线性无关时，对任意，主子式总大于零（因为线性无关）.故是正定阵.（）由例1，这是显然的.推论2(ⅰ)设欧氏空间中向量线性无关，则，且上式取等号两两正交.(ⅱ)设（欧），则.(ⅲ)设，，则，故.当可逆时，上式取等号，有.例2设是欧氏空间中的向量，且它们线性无关.证明.证明令，其中.则是线性无关向量组的矩阵，故正定.假如的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设，.则，.故.这样的二阶主子式.这与是正定阵相矛盾.因此的元素中，绝对值

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