组合数公式大全（组合数公式大全 图解）

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。组合数公式大全，组合数公式大全 图解很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

2、 (P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement) 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

3、C-组合数 P-排列数 N-元素的总个数 R-参与选择的元素个数 !-阶乘 ，如5！=5*4*3*2*1=120 C-Combination 组合 P-Permutation排列 对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。

4、 组合数的奇偶性判定方法为: 结论： 对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

5、 证明： 利用数学归纳法： 由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1); 对应于杨辉三角： 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ... 可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下， C(n,k)满足结论。

6、 1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数： 则有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) == k-1; 由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1 。

7、 现假设n&k == k。

8、 则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

9、 因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

10、 所以得n&k != k。

11、 2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数： 则有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) != k-1; 现假设n&k == k. 则对于k最后一位为1的情况： 此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。

12、 而对于k最后一位为0的情况： 则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。

13、 相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。

14、 而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。

15、 则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。

16、 所以得n&k != k。

17、 由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

18、 3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数： 则有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) != k-1; 显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

19、 所以k的末尾必有一部分形如：10; 相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*; 相应的，k-1的对应部分为： 01; 则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0. 所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0) 所以 n&k = k。

20、 4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数： 则有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) == k-1; 分两种情况： 当k-1的最后一位为0时: 则k-1的末尾必有一部分形如: 10; 相应的，k的对应部分为 : 11; 相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k) 相应的，n的对应部分为 : 1{*}1; 所以n&k = k。

21、 当k-1的最后一位为1时: 则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的) 相应的，k的对应部分为 : 10; 相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k) 相应的，n的对应部分为 : 10; 所以n&k = k。

22、 由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

23、 综上，结论得证!。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。