柯西施瓦茨不等式证明方法（柯西施瓦茨不等式）

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1、施瓦茨不等式

2、一、高数中的施瓦茨不等式

3、证明：令，则

4、从而有，即

5、对的二次三项式讲，，从而有

6、所以

7、二、线代中的施瓦茨不等式

8、[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

9、证明：

10、构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0

11、 (x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0

12、上面的不等式左边是关于z的一元二次方程

13、那么它的根判别式Δ<=0

14、Δ=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0

15、得证[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

16、三、概率论中的施瓦茨不等式

17、证明：由于对任何随机变量，方差非负，所以对任意实数t,

18、D(Y-tX)=E{[(Y-tX)-E(Y-tX)]²}

19、 =E{[(Y-E(Y))-t(X-E(X)] ²}

20、 =E{(Y-E(Y))²-2t[(X-E(X)(Y-E(Y))]+t²(X-E(X))²}

21、 =t²E(X-E(X))² -2tE[(X-E(X)(Y-E(Y))]²+E(Y-E(Y))²

22、 =t²D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)>=0

23、不等式左边是关于t 的二次多项式，对任意实数t，它非负的充分必要条件是判别式<=0，即4[Cov(X,Y)]²-4D(X)D(Y)<=0,

24、得证：[Cov(X,Y)]²<=D(X)D(Y)

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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