一元三次方程怎么解降次（一元三次方程怎么解）

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1、将最高项系数化为1后为：x^3+ax^2+bx+c=0

2、令x=y-a/3，方程化为：y^3+py+q=0

3、P=b-a^2/3, q=c-ab/3+2a^3/27

4、令y=u+v代入，得：u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0

5、 u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0

6、如果令：u^3+v^3+q=0, 3uv+p=0, 并求出u,v则可得y=u+v为解。

7、 u^3+v^3=-q

8、 uv=-p/3, u^3v^3=(-p/3)^3=-p^3/27

9、u^3, v^3为二次方程: z^2+qz-p^3/27=0的解。

10、得u^3, v^3 =z=(-q±√D)/2，其中 D=q^2+4p^3/27

11、所以u,v为： z1,z2= 3√z.

12、令 ω=(-1+i√3)/2，得y的三个解为：

13、 y1=z1+z2

14、 y2=ωz1+ω2z2

15、 y3=ω2z1+ωz2

16、从而得：

17、x1=y1-a/3

18、x2=y2-a/3

19、x3=y3-a/3

20、D>0有一个实根及一对共轭复根

21、D=0有三个实根，其中有两个或三个根相等

22、D<0有三个不等实根

23、当D<0时，可根据一个三角恒等式方便地求出三个实根：

24、 cos 3A=4cos3A-3cosA

25、z=cosA , z^3-3/4z-1/4 cos3A=0

26、令y=nz,代入 y^3+py+q=0,得 z^3+z p/n^2+q/n^3=0

27、只需令p/n^2=-3/4,q/n^3=-1/4cos3A,即

28、 n=√-4p/3,

29、 cos3A=-4q/n3=-q/2/(√(-p^3/27)

30、由于D<0,因此上式中其绝对值小于1，因此反余弦即可求出3A，进而得A。

31、 z的三个解为：cosA, cos(A+120°), cos(A+240°)

32、从而得y=nz.

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。