超几何分布和二项分布快速判断（超几何分布）

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1、例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

2、 其中N = 30. M = 10. n = 5. P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5) 由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得： P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30) P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30) P(一等奖) = 106/3393 超几何分布的均值： 对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N 证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b),考察(1+x)^a*(1+x)^b中x^d的系数即得。

3、 引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1),易得。

4、 正式证明： EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}} =1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} //（提取公因式，同时用引理二变形,注意k的取值改变） =M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取，整理出引理一的前提） =M*C(n-1,N-1)/C(n,N) （利用引理一） =Mn/N （化简即得 ）。

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