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对数换底公式的推导过程是什么(对数换底公式的推导过程)

导读 大家好,我是小夏,我来为大家解答以上问题。对数换底公式的推导过程是什么,对数换底公式的推导过程很多人还不知道,现在让我们一起来看看...

大家好,我是小夏,我来为大家解答以上问题。对数换底公式的推导过程是什么,对数换底公式的推导过程很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1,要求证 logab= logc b/logc a , 不妨令a^x=b,c^y=b,c^z=a;

∵(c^z)^x=b,既得 c^(zx)=b, 也就是y=zx.

根据指数,对数定义,

换底公式就是 x=y/z, 已经证得。 2, 换底公式的形式:   换底公式是一个比较重要的公式,在很多对数的计算中都要使用,也是高中数学的重点。   log(a)(b)表示以a为底的b的对数。   所谓的换底公式就是   log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a) 换底公式的推导过程:   若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)   则   log(a)(b)=log(n^x)(n^y)   根据 对数的基本公式   log(a)(M^n)=nloga(M) 和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M   易得   log(n^x)(n^y)=y/x   由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)   </B>则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)   得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)   例子:log(a)(c)^log(c)(a)=log(c)(a)/log(c)(c)^log(c)(a)=1 3,换底公式的应用:   1.通常在处理数学运算中,将一般底数转换为常用对数以e为底(即In)或者是以10为底(即lg)的对数,方便我们运算;有时也通过用换底公式来证明或求解相关问题;   2.在工程技术中,换底公式也是经常用到的公式,   例如,在编程语言中,有些编程语言(例如C语言)没有以a为底b为真数的对数函数;只有以常用对数e或10为底的对数(即In、Ig),此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式,从而来处理某些实际问题。 4,所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

换底公式的推导过程:

若有对数 log(a)(b) 设a=n^x,b=n^y

则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

根据 对数的基本公式log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

和 基本公式log(a^n)(M)=1/n×log(a)(M)

易得 log(n^x)(n^y)=y/x

由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a). 5,设loga b=k

所以a^k=b

因为logc b=logc a^k=klogc a

所以(logc b)/(logc a)=k=loga b 6,设a=x的m方,b=x的n方,则log(a)b=log((x)的m方)(x的n方)=M/N)*log(a)b,

然后将m=log(x)a,n=log(x)b再带回m/n就行了。

因为a=x的m方,b=x的n方所以m=log(x)a,n=log(x)b

7, 换底公式

log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

推导如下

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 8, N

设y=loga

y

则a =N.

两边取以a为底的对数

a N

ylogm =logm

N

logm

y=-----

a

logm

N

N logm

即 loga =------

a .

logm

设a^b=N…………①

则b=logaN…………②

把②代入①即得对数恒等式:

a^(logaN)=N…………③

把③两边取以m为底的对数得

logaN·logma=logmN

所以

logaN=(logmN)/(logma) 9,由N=alogaN,两边取以 b为底的对数,得 logbN=logbalogaN. ∵logbalogaN=logaN??logba,

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。