托勒密定理的证明（托勒密）

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托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

证明：

（1）如下图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。

又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。

（2）同理，如上图图(2)所示，三角形CDE与ABC相似。从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。

（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD。即

AC·BD=AB·CD+AD·BC证毕。

扩展资料

推广

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

推论

1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

参考资料来源：搜狗百科-托勒密定理

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。

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