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三角函数正切正弦余弦关系规律（三角函数正切正弦余弦）

导读大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。三角函数正切正弦余弦关系规律，三角函数正切正弦余弦很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧...

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。三角函数正切正弦余弦关系规律，三角函数正切正弦余弦很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、三角函数中,以公式多而著称.解题方法也较灵活,但并不是无法可寻,当然有它的规律性,近几年的高考中总能体现出其规律性.而对三角函数的考查解法,归纳起来主要有以下六种方法: 一.平方法观察问题的条件和所求结论, 是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式, 可考虑将代数和取平方.这样能有机地将和差与乘积结合起来,从而顺利求解. 例:已知 θ ∈(0,2π ) 且 sin θ , cos θ 是方程 x kx + k + 1 = 0 的两根,求 k 的值.

2、2

3、解析:由韦达定理得:

4、sin θ + cos θ = k (1) sin θ cos θ = k + 1 (2)

5、(1) 2 (2) × 2 得: 1 = k 2 2k 2 ,∴ k = 3 或 k = 1

6、又原二次方程满足 ≥ 0,∴ k ≥ 2 + 2 2 或 k ≤ 2 2 2

7、∴ 舍去 k = 3 得 k = 1

8、注:解决数学问题应掌握一些基本的技能,如"取平方""取对数""取倒数"等技巧, , , 以提高解题能力. 二.降幂法涉及高次三角函数化简问题,常通过平方关系,倍角关系降幂得到解答. 例:已知 sin θ + cos θ=

9、4 4

10、A.

11、解析:∵ sin θ + cos θ

12、2 2

13、(

14、7 9

15、B.

16、7 9

17、)

18、5 ,则 cos 4θ = 9 1 C. 9 2 sin 2 θ cos 2 θ =

19、( D.

20、)

21、1 9

22、2

23、5 4 2 2 ,∴ 2 sin θ cos θ =9 9

24、∴

25、sin 2 2θ 4 1 cos 4θ 8 7 =,∴ = ,∴ cos 4θ = ,选 A. 2 9 2 9 9

26、注:本题降幂是一个重要环节,有很多涉及三角函数的化简,求值,性质等题目,入门的关键是恰当运用平方关系,如 sin α + cos α = 1 和倍角公式如 2 sin α cos α =sin 2α ,

27、2 2

28、sin 2 α =

29、1 cos 2α 1 + cos 2α 2 , cos α = 等. 2 2

30、三.凑角法还有一些求值问题, 通过观察角之间的关系, 恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起来,能找出解答途径. 例:已知

31、π

32、3 π π 3 3 5 < α < π , 0 < β< 且 cos α = , cos π + β =,求 4 4 4 4 5 4 13

33、1

34、sin (α + β ) 的值.

35、解析:由

36、π

37、3 π π 4 π < α < π 得 < α < 0 ,从而 sin α = 4 4 2 4 5 4

38、由0 < β <

39、π

40、4

41、得

42、3 3 12 3 π < π + β < π ,从而 cos π + β = 4 4 13 4

43、3 π π ∴ sin (α + β ) = cos+ (α + β ) = cos π + β α 2 4 4 3 π 3 π = cos π + β cos α + sin π + β sin α 4 44 4 12 3 5 4 = × × 13 5 13 5 = 56 65

44、注:三角函数的求值其重要的一环是扫除角的差异,函数名称的差异,式子结构的差异.而凑角法是扫除这三个差异的重要方法. 四.换元法解三角函数中的复合函数问题时,抓住特点巧妙换元可将复杂问题简单化. 例:已知函数 y = 2 + 2 sin x cos x+ sin x + cos x, x ∈ 0, 小值. 解析:令 sin x + cos x= t ,则可得 t ∈ [1, 2 ] 由 (sin x + cos x) 2 = t 2 ,得 2 sin x cos x = t 1

45、2

46、π ,求函数的最大值和最 2

47、∴ 原函数为 y = t 2 + t+ 1, t ∈ [1, 2 ] ,又 y = t 2 + t + 1 在 [1, 2 ] 上单增.

48、∴ y max = f ( 2 ) = 3 + 2, y min = f (1) = 3

49、注: 进几年高考热衷于复合三角函数问题, 通过换元将三角函数式变形转化为其它常见的非三角函数问题,如转化为二次函数问题,这样会得到意想不到的效果. 五.讨论法当涉及正负取舍或含参等的三角函数问题,往往要讨论作取舍. 例:已知 ABC 中, sin A =

50、5 4 , cos B = ,求 cos C 的值. 13 5 5 12 得 cos A =+ . 解析:由 sin A = 13 13

51、2

52、当 cos A =

53、12 时,∵ 0 < A + B < π 0 < A < π B < π , ∴ 13

54、据余弦函数的单调性得: cos A > cos(π B ) = cos B . 但 cos A =

55、12 4 12 < = cos B ∴ cos A ≠ . 13 5 13 12 33 当 cos A = 时,符合题意,故 cos C = cos( A + B ) = . 13 65

56、注:讨论法是将问题化整为零,化难为简的重要方法,一般在用平方关系涉及象限角问题或含有绝对值的三角函数问题等,都得加以讨论. 六.图象法在解决三角函数问题时,有时要借助图象才能更好地解决相应问题. 例:设 ω > 0 ,若函数 f ( x )= 2 sin ωx 在