因式分解题目及答案简单（因式分解题目及答案）

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。因式分解题目及答案简单，因式分解题目及答案很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

十字相乘法

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

如：

a²x²+ax-42

首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？），

然后我们再看第二项， +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。

再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。

首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。

然后，再确定是-7×6还是7×-6。

(a×-7）×(a×+6）=a²x²-ax-42(计算过程省略）

得到结果与原来结果不相符，原式+ax 变成了-ax。

再算：

(a×+7）×(a×+(-6））=a²x²+ax-42

正确，所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。

公式法

公式法，即运用公式分解因式。

公式一般有

1、平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）

2、完全平方公式a²±2ab+b²=（a±b）²

3因式分解编辑

十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

注意四原则：

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=

-x(2+3y+4z)

归纳方法：

1．提公因式法。

2．运用公式法。

3．拼凑法。

提取公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

例如：

注意：把

变成

不叫提公因式

公式法

根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

平方差公式：

反过来为

完全平方公式：

反过来为

反过来为

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

2．提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同

解方程法

通过解方程来进行因式分解，如：

X2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）

4分解方法编辑

分组分解法

分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1． 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2． x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2

=a^2-(b+c)^2

=(a-b-c)(a+b+c)

十字相乘法

十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。

这种方法有两种情况。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

例1：x2-2x-8

=(x-4)(x+2)

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．

例2：分解7x2-19x-6

图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3

因为　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，

所以，原式=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

例3：6X2+7X+2

第1项二次项（6X2）拆分为：2×3

第3项常数项（2）拆分为：1×2

2（X）　3（X）

1　2

对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）

纵向相乘，横向相加。

十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。

与十字相乘法对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。

拆添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x2+3x-40

=x2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)2-(6.5)2

=(x+8)(x-5)．

因式定理

对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数

2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。

例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y2+3y+2-12=y2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x2+x+5)(x2+x-2)

=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．

综合除法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

主元法

例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则

x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

相关公式

=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

由此可得

a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．

也可以参看右图。

双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 　2y 　2

x 　3y　 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

④纵向相乘，横向相加。

二次多项式

（根与系数关系二次多项式因式分解）

例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a≠0)

.

当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2

=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)

=a(X-X1)(X-X2).

5分解步骤编辑

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

6例题编辑

1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．

解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）

=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]

=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)

=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：

x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．

解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)

=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)

=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)

=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a+2b+c>0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。

解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1

=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．

7四个注意编辑

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。

例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。

解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。

考试时应注意：

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

8应用编辑

1． 应用于多项式除法。

：a(b−1)(ab+2b+a)

说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．

2． 应用于高次方程的求根。

3． 应用于分式的通分与约分

顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）

例如：

23|(211-1);；11=4×2+3

47|(223-1);；23=4×5+3

167|(283-1);,,,.83=4×20+3

2,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，

例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1

439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1

3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1

3，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）

例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1

1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1

1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1

9分解公式编辑

平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

立方和（差）

两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。

即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

证明如下：（ a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3

所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)

=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)

同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

十字相乘公式

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

不知道需要什么难度的，所以还是答方法

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。