一元二次方程配方法

一元二次方程的配方法，是一种求解一元二次方程的重要方法。一元二次方程的一般形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中\(a \neq 0\)），通过配方法，我们可以将其转换成完全平方的形式，从而更容易地找到方程的根。

配方法的基本步骤

1. 标准化：首先确保方程的一般形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)，如果\(a \neq 1\)，则可以通过两边同时除以\(a\)来简化方程，使\(a=1\)。

2. 移项：将常数项移到等式的右边，得到 \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。

3. 配方：在等式的左边添加一个数，使得左边成为一个完全平方公式。这个数是\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)。注意，为了保持等式的平衡，右边也要加上同样的数。因此，等式变为 \(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\)。

4. 化简：左边现在是一个完全平方公式，即\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\)。而右边则是常数项，我们设其为\(D\)，即\(D = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\)。

5. 开方：对等式两边开平方，得到 \(x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{D}\)，进而得到 \(x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{D}\)。

6. 求解：根据上述公式，可以求得方程的两个根，即 \(x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。这里，\(b^2-4ac\)称为判别式，它决定了方程根的性质。

实际应用示例

假设我们有一个一元二次方程 \(x^2 - 6x + 5 = 0\)，使用配方法求解：

1. 标准化：方程已经满足条件。

2. 移项：\(x^2 - 6x = -5\)。

3. 配方：添加\(\left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9\)到等式的两边，得到 \(x^2 - 6x + 9 = 4\)。

4. 化简：\((x - 3)^2 = 4\)。

5. 开方：\(x - 3 = \pm 2\)。

6. 求解：得到\(x_1 = 5\)，\(x_2 = 1\)。

这样，我们就通过配方法成功找到了原方程的解。这种方法不仅适用于理论学习，也是解决实际问题时的一种有效手段。