拉格朗日中值定理证明

拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在区间上的整体性质与局部性质之间的联系。该定理表明：如果函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

定理证明

为了证明拉格朗日中值定理，我们引入辅助函数的方法。

1. 构造辅助函数

设辅助函数为：

$$

F(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \right].

$$

这个函数的构造目的是使 $ F(a) = F(b) = 0 $，从而便于应用罗尔定理。

2. 验证条件

- 连续性：由于 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $ F(x) $ 是由 $ f(x) $ 和线性函数组合而成，因此 $ F(x) $ 在 $[a, b]$ 上也连续。

- 可导性：同样地，$ f(x) $ 在 $(a, b)$ 内可导，而 $ F(x) $ 的构造没有破坏可导性，因此 $ F(x) $ 在 $(a, b)$ 内可导。

- 边界条件：计算 $ F(a) $ 和 $ F(b) $：

$$

F(a) = f(a) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) \right] = 0,

$$

$$

F(b) = f(b) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) \right] = 0.

$$

3. 应用罗尔定理

根据罗尔定理，若函数 $ F(x) $ 满足上述条件，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $ F'(\xi) = 0 $。

4. 计算导数

对 $ F(x) $ 求导：

$$

F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

令 $ F'(\xi) = 0 $，得到：

$$

f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0.

$$

整理后即为：

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

结论

通过构造辅助函数并利用罗尔定理，我们成功证明了拉格朗日中值定理。这一结果不仅展示了函数在区间上的平均变化率与导数之间的关系，还为后续研究提供了理论基础。拉格朗日中值定理是分析学中不可或缺的重要工具。