伯努利微分方程公式（伯努利微分方程）

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伯努利方程

科技名词

中文名称：伯努利方程 英文名称：Bernoulli’s equation

定义：反映理想流体运动中速度、压强等参数之间关系的方程式。

应用学科：航空科技（一级学科）；飞行原理（二级学科） 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

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伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。

目录

流体力学中的物理方程

举例

编辑本段流体力学中的物理方程

　　理想正压流体在有势体积力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。因著名的瑞士科学家D.伯努利于1738年提出而得名。对于重力场中的不可压缩均质流体 ，方程为p+ρgh+(1/2)*ρv^2=c　式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。

上式各项分别表示单位体积流体的压力能 p、重力势能ρgh和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各项分别称为静压 、动压和总压。显然 ，流动中速度增大，压强就减小；速度减小， 压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小 ，因而合力向上。 据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。 　　图为验证伯努利方程的空气动力实验。 　　补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1） 　

　p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 （2） 　　

均为伯努利方程 　　其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。 　　伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。 　　由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。

编辑本段举例

　　图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min（ANR），油杯内油的密度ρ=800kg/m。问油杯内油面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油？ 　　解： 　　由气体状态方程，知进口空气密度ρ=（p1+Patm)/(RT1）=（0.5+0.1）/（287*300）kg/m=6.97kg/m 　　求通过喷油器的质量流量 　　qm=ρa*qa=(1.185*500*10^-3)/60=0.009875kg/s 　　求截面积1和截面积2处的平均流速： 　　u1=qm/(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.008^2)]m/s=28.2m/s 　　u2=qm/(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0074)]m/s=32.9m/s 　　由伯努利方程可得 　　p1-p2=0.5*ρ1(u2^2-u1^2)=0.5*6.97(32.9^2-28.2^2)pa=1200.94pa 　　吸油管内为静止油液，若能吸入喉部，必须满足： 　　p1-p2≥ρgh 　　h≤(p1-p2)/ρg=1200.94/(800*9.8)m=0.153m 　　故 　　说明油杯内油面比喉部低153mm以上便不能喷油。

参考资料

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伯努利方程

http://www.souezu.cn/Item/49090.aspx

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