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射影定理是不是只适用于直角三角形(射影定理)
大家好,我是小夏,我来为大家解答以上问题。射影定理是不是只适用于直角三角形,射影定理很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!
1、射影 射影就是正投影,从一点到过顶点垂直于底边的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。
2、一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理。
3、 [编辑本段]直角三角形射影定理 直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
4、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
5、 公式 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下: (1)(BD)^2=AD · DC, (2)(AB)^2=AD · AC , (3)(BC)^2=CD · AC 。
6、 证明:在△BAD与△BCD中,∠A+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,∴∠A=∠DBC,又∵∠BDA=∠BDC=90°,∴△BAD∽△CBD相似,∴ AD/BD=BD/CD,即(BD)^2=AD · DC。
7、其余类似可证。
8、(也可以用勾股定理证明) 注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。
9、由公式(2)+(3)得: (AB)^2+(BC)^2=AD · AC+CD · AC =(AD+CD)·AC=(AC)^2, 即(AB)^2+(BC)^2=(AC)^2。
10、 这就是勾股定理的结论。
11、 [编辑本段]任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”: 设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有 a=b · cosC+c · cosB, b=c · cosA+a · cosC, c=a · cosB+b · cosA。
12、 注:以“a=b · cosC+c · cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b · cosC、c · cosB,故名射影定理。
13、 证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且 BD=c · cosB,CD=b · cosC,∴a=BD+CD=b · cosC+c · cosB . 同理可证其余。
14、 证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a · cosB+b · cosA . 同理可证其它的。
本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。