射影定理是不是只适用于直角三角形（射影定理）

大家好，我是小夏，我来为大家解答以上问题。射影定理是不是只适用于直角三角形，射影定理很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、射影 射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

2、一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

3、 [编辑本段]直角三角形射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

4、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

5、 公式 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： （1）（BD）^2=AD · DC， （2）（AB）^2=AD · AC ， （3）（BC）^2=CD · AC 。

6、 证明：在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即（BD）^2=AD · DC。

7、其余类似可证。

8、(也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

9、由公式（2）+（3）得： （AB）^2+（BC）^2=AD · AC+CD · AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2， 即（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2。

10、 这就是勾股定理的结论。

11、 [编辑本段]任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a＝b · cosC＋c · cosB， b＝c · cosA＋a · cosC， c＝a · cosB＋b · cosA。

12、 注：以“a＝b · cosC＋c · cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b · cosC、c · cosB，故名射影定理。

13、 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c · cosB，CD=b · cosC，∴a=BD+CD=b · cosC＋c · cosB . 同理可证其余。

14、 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a · cosB＋b · cosA . 同理可证其它的。

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